（これまでのコメントをまとめると…）
ユークリッドの幾何学には多くの暗黙の前提が使われています。それらが19世紀に指摘され、改良する試みがヒルベルトによってなされました（Hilbert, D.（1899），Grundlagen der Geometrie（『幾何学の基礎』寺坂英孝・大西正男訳・解説、共立出版、1970)）。ヒルベルトの公理系には基本的な公理の他に、アルキメデスの公理とデデキントの公理の二つが採用されています。
線が完備である、つまり線にはギャップがない（つまり、連続している）というのがデデキントの公理ですが、これは実数の連続性（continuity of real numbers）とも呼ばれ、実数の集合がもつ性質です。また、実数の連続性は完備性（completeness of the real numbers）とも呼ばれます。デデキントの公理、あるいは実数の連続性（完備性）の公理は次のように表現できます。
実数を、次のように、空でない集合AとBに分割する。すべての実数はAかBのどちらかに属し、AとBに共通部分はないとする。さらに、Aの元は必ずBのどの元より小さいとする。すると、
(1) Aに最大値があってBに最小値はない。
(2) Bに最小値があってAに最大値はない。
のどちらかのみが成り立つ。
アルキメデスの公理は「どんな長さも別の長さに比べ、無限に長いことはあり得ない」というもので、これは「任意の二つの線分ABとCDについて、ABのn倍がCDより長くなるようなnが存在する」と同値です。
2つの量aとbがあるとき、bを何倍かすると、いつかはaをこえるというのがアルキメデスの公理。順序概念のある加法群で、a、b＞0について、a＜nbとなるnがあるとき、アルキメデス的と言われます。これは、nを十分大きくすれば、どんなaよりもnb が大きくなることを意味します。さらに分割が保証されていれば、これはa/n＜b、つまりaをn等分すればどんな正の数bよりもa/nが小さくなることを意味します。
デデキントの公理とアルキメデスの公理を見ると、いずれも実数の持つ性質についてのものであることに気づきます。直線という幾何学的対象について実数を使って特徴づけようとすると、実数の持つ二つの特徴、完備性と順序性をそれぞれ公理化する必要が出てくるのです。この公理化によって、点と線は「順序よく、隙間なく並んだ点が線となり、それは実数として表現できる」ことになるのです。こうして、ヒルベルトによるユークリッドの幾何学の公理化は直線を実数として表現することだったのですが、その実数の研究は解析学に結実し、自然の数学化を先導することになったのです。
「点そのもの」という表現は物自体に似て、文脈や状況に対して反応しないものと考えられてきましたが、順序があり、連続して並ぶという文脈の中での点が実数のモデルになるというのが基本的な理解になります。「点そのもの、線そのもの」は不毛で、点や線についての公理は状況や文脈の設定のための命題だと考えることができます。
数学に関する哲学の一つがプラトン主義で、点や線といった代表的な数学的対象はイデアであり、イデアは不変で、普遍な本質とみなされてきました。それは後世のフッサール的な心的対象とは違うものでした。それに対して、ヒルベルトは幾何学の再公理化を通じて「形式主義」を主張しました。それを少々短絡的に表現すれば、公理化を通じてイデアを言語化し、それによってモデル化、さらには、今風には「見える化」を目指したということができます。イデアの公理化とは「イデアについて言明によって具体的に表現すること」であり、プラトン主義を言明化し、それが形式主義に結実したと考えることができます。
