＜論理の規則＞
私たちは論理の規則を使って何かを考え、話し、互いに意思の疎通を図っています。その際、どのような論理の規則を使っているかなど意識していません。そのためか、どんな規則を使ったかと問われたり、より基本的に論理の規則を挙げるように求められたりすると、大抵の人はまごつくだけで、答えることができません。例えば、「Aの必要十分条件がBなら、Bの必要十分条件はAである」ことを論理規則だけを使って説明（証明）せよと言われると、ほとんどの人は右往左往するのです。ところが、私たちはその論理の規則を使い熟すことに関してはまず間違うことがありません。規則を明示的に挙げたり、説明したりできなくても、規則を正しく使いことに関しては正確に、しかも迅速にできるのです。この特徴は日本語の文法を説明できなくても、それを誤ることなく使うことができることと同じです。文法と論理のいずれのルールも無意識に使い熟せる点ではよく似ているのです。ルールのこのような実践的な学習と習得は論理も言語も似ています。日本人は日本語を巧みに使い熟せますが、日本語の文法は学校で習わないとまるでわかりません。子供たちは文法の規則を明示的に知らなくても、正しい日本語を容易につくることができ、流暢に話せるのです。
こうして、論理と言語の規則は使うことができるように習得されているのですが、何がルールかを明確に表現できないというのでは、例えば推論の仕組みをコンピューターでプログラムしたい、他の言語に、あるいは他の言語から翻訳したい場合、困ってしまいます。そこで、まずは論理や言語の規則をはっきり知ることが第一歩になる訳です。では、もっとも基本的な論理の規則に焦点を当てるとどうなるでしょうか。
論理には直観主義論理、量子論理、多値論理と呼ばれるような、通常の論理規則とは違う規則からなる論理システムが存在します。適用される状況が数学的対象の構成、量子世界での粒子の振舞い、真偽以外の値をもつ状況と言ったように、通常の世界や状況とは違った、独特の状況で成り立つ論理システムです。このようなとても特殊な状況は日常生活ではまず登場せず、日常世界では伝統的な古典論理（classical logic）が通用しています。非古典的な論理システムも古典論理とは僅かな違いしかありません。
ルールを知ることとルールを使うことは表面上はとても異なると述べましたが、論理のルールが何かを初めて明瞭な仕方で表現したのはアリストテレスです。それが三段論法のシステムで、彼の『分析論前書』に述べられています。彼の三段論法のシステムは20世紀の中葉まで大学で「形式論理学」として教えられていました。それは正しく推論するための技術なのですが、大抵の人は学ばなくても無意識的に習得しているため、退屈極まりない講義の代名詞にさえなっていました。大学に入学したばかりの新入生に日本語の文法を教えるのであれば、まだ少しは意味があるのですが、日本語の文法の現在形の一部だけ教えるとなったら、誰も見向きもしない筈です。アリストテレスの三段論法のシステムは論理の規則の中の（一項述語だけからなる）簡単な代数規則の集まりで、私たちが既に小学生時代にマスターし、無意識のうちに使っていたものだったのです。
私が大学に入学したのは東京オリンピックの後でしたが、1年生の時に形式論理学を履修した経験があります。数回出席し、あとはつまらなくて放棄したのですが、翌年「記号論理学」を履修し、こちらは記号列の計算で結構楽しかった思い出があります。私のこの経験を落語のように語ると二つの論理学が扱う論理システムの違いが明瞭になってきます。（是非、一度は高座で話してみたいものです。）現在の古典論理のシステムは「第1階の述語論理」と呼ばれ、19世紀末から20世紀にかけてフレーゲやラッセルらによって構築されました。アリストテレスのシステムはこの述語論理のシステムの僅かな一部分で、今でも通用する正しいシステムです。さすがアリストテレスで、彼は誤っていなかったのですが、適用される範囲が狭すぎ、わざわざ三段論法のシステムを意識的に適用しなくても、常識でことは済むのです。
論理規則とその使い方を問うような問題を出しておきましょう。
（1）Aの必要十分条件がBならば、「AかつB」はBの必要条件だろうか。
（2）「どんな人にも嫌いなものがある」から、「誰からも嫌われるものがある」は導出できるか。導出できないなら、その反例を挙げてみよ。
代数規則と量化規則からなる論理規則
論理規則の具体的な説明です。数式を変形し、計算し、答えを出すのと同じように、記号化された言明（論理式）を変形し、別の言明を導出する、これが論理的な推論の一般的なプロセスです。「計算する、証明する、推論する、思考する」といった述語はみな同じ事柄を指すと考えることができ、アリストテレスによれば、理性的動物である人間の「理性的思考」とはつまるところ、コンピューターの計算機能と同じということになります。これは大いに驚くべきことなのです。理性や合理性は人間の人間たる所以だと考えられてきましたし、西欧の学問の特徴の一つが合理主義にあったのですが、それは結局のところ計算（computation）がもつ特徴だということになったのです。
「計算」についての具体的な研究は19世紀にイギリスを中心に始まります。ベンやブールという名前を聞いたことがある人が多い筈ですが、いずれも数学者で、推論の代数的な構造を明瞭にしようとしました。代数的な操作は文と文をつなげたり、分離したりするときの操作で、接続語句がそのカギを握っています。主な接続語句となれば、「…でない」、「…かつ…」、「…あるいは…」、「もし…なら、…である」の四つが代表的なものです。これは異なる自然言語でも共通のものです。そして、肝心な点は、これら接続語句は四則演算（加減乗除）と真偽（1と0）の計算に関して同じである、ということです。
アリストテレスは二つの名辞（項、term）がbe動詞（…である）で結ばれている文を4通り挙げて、それを基本文型にして正しい三段論法（二つの基本文型から別の基本文型を導出する）を分類してみせました。その四つの文型を挙げてみましょう。AとBは共に名辞で、ここに一般名詞を代入すれば、具体的な言明をつくることができます。
（1）全称肯定型：すべてのAはBである。
（2）全称否定型：すべてのAはBでない。
（3）特称肯定型：あるAはBである。
（4）特称否定型：あるAはBでない。
（1）を否定すると、（4）に、（2）を否定すると（3）に、（3）を否定すると、（2）に、（4）を否定すると、（1）になります。これを説明するのが量化の規則です。主語の量について否定記号とどのような関係にあるかの規則が量化の規則です。「すべてのxはFである」を否定すると、「あるxはFでない」になると言った規則で、次のように表現できます。∀は普遍量化記号、∃は存在量化記号と呼ばれます。
∀xF(x) ⇔ ⏋∃x⏋F(x)
∃xF(x) ⇔ ⏋∀x⏋F(x)
⏋∀xF(x) ⇔ ∃x⏋F(x)
⏋∃xF(x) ⇔ ∀x⏋F(x)
例えば、最後の規則は、「Fであるxは存在しない」は「どんなxについてもFでない」と同値である、となります。主語の量的な表現が否定記号と規則的な関係になっているのがわかります。
四つの基本文型の相互関係を洗い出し、それらを使って正しい三段論法を抽出したのがアリストテレスです。彼はこの正しい三段論法を組み合わせれば普通の長い推論が再構成できると考えたのです。現在の言葉を使えば、一項述語だけからなる言語で表現された推論はアリストテレスのシステムで説明できる、ということになります。一般に述語は何項でも構いませんから、これはとても大きな制約ということになります。例えば、「2は5より大きい」は普通は「2 < 5」と表現され、一般的にはF(2,5)という二項の述語です。「関係」と呼ばれるものは、さらに「AはBとCの兄である」のように三項のもの、さらにはn項の関係が一般的な形です。
こうして、関係を表現するn項の述語はn個の論理的な主語をもった述語ということになりますが、「一つの文の中には主語は一つ」という文法の鉄則が見事に崩れることになります。論理的な主語と文法的な主語は違っていて、思考、推論するには論理的な主語を信用すべきだということになります。自然言語の文法を信用してはダメだということの教訓そのものなのですが、自然言語を信じてシステムを考えたのがアリストテレスですから、アリストテレスも推論の仕組みを知るには言語表現が大切だと眼をつけた点は見事なのですが、残念なことにそれが自然言語（ギリシャ語）だったため、一部しか成功させることができなかったのです。
日本語は英語、フランス語、中国語などと並んで自然言語の一つで、しかも他の言語との系統関係がわからず、世界で孤立した言語と言われています。ですから、かつては「象は鼻が長い」という文の中に「象」と「鼻」の二つの主語があり、文法さえ脆弱だと馬鹿にされたのですが、複数の主語が一つの文の中にないと関係を表現できないことを考えると、一概に日本語の文法はいい加減だなどと結論できないのです。
少し難しいことを言うと、第1階の述語論理ではゲーデルの不完全性定理が成り立っていて、自らのシステムが矛盾していないことを自ら証明することができませんが、アリストテレスのシステムではこれが可能です。適用範囲は狭くても、その推論の仕方は完全だということになります。
ここで主語と述語はどんなものか考えてみましょう。これは論理学の仕事というより、解釈や意味論の問題になります。自然数論や実数論に登場する変数x、yは任意のもので構いません。敢えてそれが何かわからなくても計算はできますし、定理の証明には何の支障もありません。でも、私たちの好奇心は「数とはないか」という問いに誘惑されて、その答えを探したくなるのです。主語は、私たちの住む世界の中の物理的な対象で指で指すことができるもの、というのが大方の人が認めるものです。その結果、心的な対象、概念や意識は排除されます。これを少々エレガントに述べると、論理的な主語は代名詞「これ」、「それ」で指すことが容易にでき、確認できるものということになります。ですから、「日本人は日本語を話す」という文の文法的な主語は「日本人」ですが、この文を言い換えると、「どんなものについても、それが日本人なら、それは日本語を話す」となって、「それ」が主語になります。そしてこの「それ」は変数、変項と呼ばれてきたものなのです。数学でお馴染みの変数とは実は代名詞のことなのです。ですから、「実数という集合の中を動くもの」というとんでもない表現はこの際捨て去るのがいいでしょう。
これで記号言語、人工言語の説明は終わりです。この言語によって私たちの世界についての基本的な表現がすべてでき、言明の間の推論、計算を自動化することも可能です。つまり、私たちの外部世界についての知識を表現し、それを使って推論することができる信頼できる人工言語なのです。この言語を使って数学理論、物理学理論を形式化し、それが実験や観測結果と合うかどうかチェックするという研究のアウトラインが描けることになります。
誰もが受け入れ、拒絶することができない規則が論理規則です。人間として何かを考える際、論理規則を拒絶することは考えることを放棄することと同じことです。私たちは論理の規則を土台にして言語や科学、倫理や宗教の規則をその上に整合的に設けようとします。でも、どの規則も取り換えが可能という点では心底信じることができるという訳にはいかないのです。論理規則は普遍的でも、他の規則は局所的なのです。そこに人間がこの世界について生み出す理論や思想、宗教や倫理の特徴が滲み出ているのです。でも、そこがスリリングで、私たちを惹きつけるのです。私たちは自由にこの規則が駄目なら、別のどんな規則にするか、こんな議論に熱中する経験を誰もがもったはずです。
