変化とその表現(3)

変化の歴史(3)
[ゼノンのパラドクス]
 ゼノンはパルメニデスの不変の哲学を擁護するために変化に関わる様々なパラドクスを考えている。彼が考案したのは、運動変化が存在するとすれば、矛盾が生まれる、それゆえ、運動は存在しないという推論である。まず、ランナーがゴールまで到達できるかどうかというパラドクスについて彼の推論を見てみよう。

スタート地点からゴールに到達するために、ランナーは無限に多くの区間を走らなければならない。だが、ランナーが無限に多くの区間を走ることは不可能である。それゆえ、ランナーはゴールに到達することができない。

この推論は妥当だろうか。結論は前提から論理的に正しく演繹されており、推論としては妥当である。(各自確かめてほしい。)では、この推論は正しいだろうか。つまり、正しい前提からの妥当な推論だろうか。最初の前提は正しそうであるが、問題は二番目の前提である。ゼノン自身この前提が成立する理由を述べていないが、次の三つが理由として考えられる。

(1)すべての区間を走るために、ランナーは無限に速く走らなければならないだろう。
(2)すべての区間を走るために、ランナーは永久に走り続けなければならないだろう。
(3)すべての区間を走るために、ランナーは論理的に不可能なことをしなければならないだろう。

アリストテレスは(2)がゼノンの考えていた理由だと推定している。(1)や(3)の可能性も興味深いが、現在の私たちは上のいずれも正しくないことを知っている。なぜなら、無限個の区間の和はいつも無限ではなく、有限の場合があることを知っているからである。無限個の区間の和が有限である場合には、例えば、次の場合がある。長さ1の区間に順次半分の区間を加えた結果は次の(不完全な)式で表現でき、2である。

1 + 1/2 + 1/4 +…+1/n +…= 2。
(この式は潔癖な向きには式とは呼べない代物。そもそも...とは何か不明であり、+という代数演算は有限の数の項についての和でなければならない。)

(問)無限個の区間の和が有限なら、上の三つの理由が成立しないことを説明せよ。

 「飛ぶ矢」のパラドクスに話を移そう。アリストテレスによると、このパラドクスは次のようなものである。(『自然学』239b5-7)

矢がそのサイズと同じ場所にあるとき、矢は静止している。
矢が飛んでいるどの瞬間も、矢はそのサイズと同じ場所にある。
それゆえ、矢が飛んでいるどの瞬間にも、矢は静止している。

このパラドクスに対してアリストテレスは次のように答えている。この推論では、時間は多くの「現在」(不可分の瞬間)からつくられていると誤って仮定されている。「現在」(つまり、ある瞬間)に運動や静止といったものはない。アリストテレスは「現在=区間」という考えをもっていたが、それが有効に働くのは歴史を考えたときである。この答えでは瞬間の運動や静止が否定されているが、瞬間の速さとしての速度は力学では欠かせない概念である。(ある瞬間tでのxの速度は、tを含む時間間隔を狭めていったときのxの平均速度の系列の極限として定義されたことを思い出してほしい。)「xがある瞬間tでxのサイズと同じ場所にある」ことは、「xが瞬間tで静止している」も「xが瞬間tで運動している」も含意していない。だから、ゼノンの推論が瞬間にだけこだわるなら、前提の1が誤りということになる。
 気になるのは瞬間と区間が曖昧な点である。瞬間と区間のどちらが推論では考えられているのか。

1矢がそのサイズと同じ場所にあるすべての瞬間に、それは静止している。
2 飛んでいるすべての瞬間に、矢はそのサイズと同じ場所にある。

1は誤りで、2は正しい。(どうしてか。)

3 矢がそのサイズと同じ場所にあるどんな区間でも、それは静止している。
4 飛んでいるすべての区間で、矢はそのサイズと同じ場所にある。

今度は、3が正しく、4は誤っている。(どうしてか。)瞬間と区間の違いはこれらのことから明らかだろう。だが、瞬間、区間のいずれであれ、ゼノンの推論の前提はいずれかが誤っているということになる。
 運動が不可能であるというゼノンの推論は誤っているが、これが原子論の空間概念の問題を明らかにすることになった。これは後で見ることにしよう。

*ゼノンのパラドクスに対する過去の解答例
 ゼノンのパラドクスは私たちの時間や空間の概念に内在するものであり、それゆえ、そのような矛盾を含んだ時間や空間は実在しない、とカントは考える。空間や時間は事物や世界に属しているのではなく、私たちがそれらを観る仕方に属している。それらは私たちが事物を知覚する形式である。時間や空間を対象に当てはめるのは私たちの精神である。このように考えたカント(Immanel Kant)は、パラドクスから無限を理解することは人間の理性の能力を超えたものだという結論を引き出し、無限を考えようとすると、矛盾に陥ってしまうことを示そうとした(現在の私たちは矛盾に陥ることなく、無限を扱うことができる)。
 ヘーゲル(Georg Hegel)によれば、説得力のある解決は矛盾の両面に光を当て、一方のみが正しく他方が誤りといった結論を出さないことである。正しい解決は、二つの対立する原理を調和させる高次のレベルでのみ可能である(aufheven)。ヘーゲルはゼノンのパラドクスを理性のもつ本質的に矛盾する性質の具体例だと考えた。どんな理性の営みも最初に措定するものは矛盾を含み、それはより高い次元で解消されるが、無限の分割不可能性の矛盾も量についての高次の概念によって解消できる。量の概念は「一」と「多」という二つの要素をもつが、量が意味しているのは一の中の多、多の中の一である。砂山はまず全体が一つとして考えられ、次にそれが多くの砂粒からなることが理解される。砂山の正しい理解はその両方を総合したものである。矛盾は片方の側面だけを考えることから起こるに過ぎない。直線が与えられると、私たちはまずそれを一本の線と考える。直線は連続した、分割できるものである。それを分割すると、多くの部分に分かれ、各部分は一つで単位と考えられる。さらに、その部分はもっと小さな部分に分割できる。この過程は限りなく続けることができる。すると、ゼノンのパラドクスが起こる。だが、これは誤った見方の結果に過ぎない。一つのものとは違った実在として多数を考え、次に多数のものとは違った実在として一つのものを抽象するのは誤りである。それは多数でも一つのものでもなく、一つのものの中の多数、つまり、量である。
 カント、ヘーゲルの解決はその後の展開に刺激を与えたが、一般に受け入れられたわけではなかった。現在では数学者、物理学者、科学哲学者の間でゼノンのパラドクスに対する標準的な対応策ができている。空間、時間、運動の概念は根本的に変化し、また直線、数、測度等の数学的概念も大きく変わった。ゼノンが使った整数は実数に置き換えられなければならない。1次元の連続体、つまり、自然な順序をもつ実数の標準的モデルはゼノンが想像したものとは根本的に異なっている。この新しい直線概念が空間での距離、時間的な持続の科学的概念の基礎となる。それはゼノンが考えた可付番(countable)無限の点(整数)の和ではなく、非可付番(uncountable)無限の点(実数)の和である。このような仕方でのみ、1次元の直線や2次元の平面が0次元の点からつくられるように、高次の次元の対象について語ることができる。直線の点は稠密で、二つの点の間には三番目の点が必ず存在する。直線上の点の数はゼノンが考えていたよりはるかに多い。実数の枚挙できない無限は整数の枚挙できる無限よりずっと大きい(どのくらい大きいか)。また、数の無限列の和はゼノンの時代とは違って、有限であることができる。こうして、現代の数学者や科学者にはゼノンの推論は今や誤りとわかった仮定に基づいており、彼が考えたパラドクスは現代の数学の中では起こり得ないと言うことができる(だが、物理学では事情が少々異なる)。