フレーゲの新しい論理的世界

［アリストテレスからフレーゲへ］
　アリストテレスの命題の基本型は自然言語の文の形に基づいていた。彼は二つの名辞が文を構成すると考えたが、文は主語と述語からなると考えたのがフレーゲである。文法上、一つの文に主語は一つしかない。その一つの主語に述語がついている。主語をx、述語をFとし、「xはFである」をF(x) と表してみよう。すると、アリストテレスの4つの基本型は、

すべてのxについて、F(x)
すべてのxについて、¬F(x) （¬は否定記号）
あるxについて、F(x)
あるxについて、¬F(x)

となる。ここで、「3は4より小さい」という命題について同じことを考えてみよう。3や4を変数x、yを使って書き直すと、「xはyより小さい」となり、さらに、大小関係の記号 < を使うと、x < yという式になる。これをF(x) と同じ書き方にすると、< (x, y) という表現ができる。この表現をF(x) と比較するなら、< (x, y) は二つの主語をもっていると言える。一つの文が二つの主語をもつことは文法的には許されない。しかし、文法の形式は文の形式であり、文の内容の形式ではない。「3は4より小さい」の内容を考えてみると、「3は自然数である」という文の内容が3の性質を述べているのに対して、3と4の関係を述べている。いずれの文も文法上の主語は同じであるが、性質と関係という異なる内容をもっている。では、この異なる内容が正しく反映されるようにするにはどうすればよいのか。文法上の主語ではなく、論理上の主語をもとに内容を表現すればよいだろう。3も4も論理上は同等であるから、いずれも論理上の主語として認めるなら、< (x, y) は二つの論理上の主語をもつ表現と考えることができる。すると、この考え方をさらに進め、「5は3と4の間にある」という文はG(x, y, z) と三つの論理上の主語をもつ形で表現できることになる。さらに一般化すれば、H(x1, x2,…, xn) といった表現が得られる。ここには論理的な主語がn個登場している。
では、このような論理的な主語を使って、どのように通常の文を書き直したらよいのか。まず、簡単な4つの基本型について考えてみよう。すると、肯定形については次のような書き換えができるだろう。

すべてのMはSである すべてのxについて、そのxがMなら、そのxはSである
あるMはSである あるxが存在し、そのxはMであり、かつそのxはSである

否定形は上のそれぞれの書き換えを否定するだけである。「すべて」や「ある」は主語がどのくらいあるかを表わしている。この二種類の量的な修飾をそれぞれ∀、∃という記号で表し、接続詞も結合子で表現すると、肯定形は、

∀x(M(x) → S(x))、∃x(M(x) ∧ S(x))

と記号化できる。否定形の場合も同様に記号化すると、

∀x(M(x) → ¬S(x))、∃x(M(x) ∧ ¬S(x))

となる。では、複数の論理的な主語をもつ文はどのようになるか。文「人間の細胞は動物の細胞である」を例に考えてみよう。論理上の主語が一つの場合は一回の書き換え、二つの場合は二回の書き換えが必要となる。これはまず「すべてのxについて、そのxが人間の細胞であれば、そのxは動物の細胞である」と書き換えられる。さらに、「そのxが人間の細胞である」は「そのxは、ある人間yがいて、そのyの細胞xである」に、「そのxは動物の細胞である」は「そのxは、ある動物yがいて、そのyの細胞xである」に書き換えられる。ここで、F(x)：xは人間である、G(x)：xは動物である、H(x, y)：xはyの細胞である、とすると、

∀x(∃y(F(y) ∧ H(y, x)) →∃y(G(y) ∧ H(y, x)))

と書き換えられる。書き換えられた記号の式は論理式と呼ばれるが、自然言語の平叙文（「…は―である」の形の文）はこのようにして論理式に記号化できることになる。
　すると、推論はそこに登場する文を記号化し、論理式をつくり、それについての計算を演繹システムで実行し、結論をもとの文に翻訳すればよいという手順が自然に出てくる。つまり、ライプニッツやブールの考えが論理式についての計算のシステムという形で実行できることになる。そして、これを成し遂げたのがフレーゲである。

(問) 次の文を論理式に記号化してみよう。
直線lに平行な線がある。
直線lに平行な線が少なくとも一本ある。
直線lに平行な線は高々一本である。

　フレーゲはドイツの数学者、論理学者、そして哲学者である。彼は述語論理の計算システムをつくり、証明の概念を形式化した。また、言語を包括的に研究し、現在も多くの哲学者がその研究を続行している。彼は数学を論理に還元することに生涯取り組んだが、それには成功しなかった。
（論理学）
　ライプニッツの思考の言語と理性的な計算という考えを具体化するためにフレーゲは命題を形式的に表現し、それを証明する述語論理のシステムを生み出した。それは第一階の述語計算と呼ばれることになるが、数学的な推論を遂行するのに十分なものだった。これはアリストテレスの文を主語－述語で分析することの限界を打ち破ったもので、「証明」は公理または定理から推論規則によって導出された論理式の系列として厳密に形式化された。
　フレーゲは述語計算のシステムをもとに数学の基礎づけを試みた。彼は論理主義と呼ばれる、論理的な概念だけで数学的概念を定義し、論理法則だけから数学的公理を導き出すという考えのもとに、それをGrundgesetze der Arithmetikで実行した。その中で使われた抽象の公理は後にラッセルのパラドクスをもたらす。論理主義は成功しなかったが、そこでの成果はラッセルとホワイトヘッドのPrincipia Mathematicaにつながって行く。
　フレーゲは数学や論理の研究と並んで、言語についての考察も行った。彼の論文 ‘Über Sinn und Bedeutung’ は今ではこの分野の古典である。彼は言語についての二つの謎を考える。一つは同一性言明で、他は命題的態度のような文である。両方に共通するのは、語は意味と指示の両方をもち、両方が文の有意味性や論理的な振舞いに不可欠な点である。この考えはその後現在に至るまで大きな影響を与えることになる。そこで、この点を詳しく見てみよう。
（同一性言明）
次の同一性言明を例に考えてみよう。

117 + 136 = 253.
明けの明星は宵の明星と同一である。
ビートたけしは北野武である。

フレーゲによれば、これらはみなa = bの形をしている。彼はa = bの形の文が真になるのは、aが指示する対象とbが指示する対象が同じ場合であると想定した。明けの明星と宵の明星は同じ金星を指示しているから、上の例文は真になると考えた。しかし、この説明では「a = b」 と「a = a」 の真理条件は区別がつかない。例えば、「ビートたけし＝北野武」と「ビートたけし＝ビートたけし」の区別がつかなくなる。なぜこの区別が必要なのか。一方はトートロジーなのに、他方は情報をもっており、二つの文の認識的な意味が異なっているからである。
（命題的態度）
　人と命題の間の心理的関係は信念、欲求、意図、知識等がある。これらは次のような文で表現されている。

Aはpを信じる。
Aはpを欲する。
Aはpを意図する。
Aはpを知る。

　Aに「太郎」、pに「ビートたけしはコメディアンである」を代入すると、最初の文について、

太郎はビートたけしがコメディアンであると信じる

という文ができる。ここで同一性言明「ビートたけし＝北野武」を使って、代入によって、

太郎は北野武がコメディアンであると信じる

という文をつくってみよう。「ビートたけし＝北野武」から代入によってつくられた文の真理値は代入前の文の真理値と同じ筈である。この推論は太郎が北野武を知らなければ、正しくないが、次のような正しい推論に似ている。

4は3より大きい。
4は8の半分である。
よって、8の半分は3より大きい。

この推論で使われる代入の原理は命題的態度が入った文では成立しない。太郎がビートたけしの本名を知らなければ、代入してつくられた文は彼には正しくないかもしれないからである。
［意味と指示］
　これらの謎を説明するためにフレーゲが考えたのは意味と指示の区別である。｢明けの明星｣と「宵の明星」は金星を指示するが、金星を違った仕方で指示する。この違った指示の仕方が意味の違いである。「神武天皇」と「日本の初代天皇」は意味をもっているが、指示があるかどうかは疑わしい。言明全体の意味はその構成要素の意味の関数である。aの意味とbの意味が異なるので、「a = a」と「a = b」の構成要素は異なり、したがって、「a = a」と「a = b」の意味は異なるのである。意味が異なることから認識的にも異なることになり、「＝」に関する謎は説明できることになる。
　さらに、命題的態度を表す動詞の後に登場するpは、pだけの場合に指示するものを指示しなくなる、とフレーゲは主張した。つまり、それら動詞の後では指示対象が異なるのである。これによって、代入の原理が成立しなくなる。したがって、太郎の推論は正しくないのである。

秋（3）:パンパスグラス

　シロガネヨシが和名のパンパスグラスは、イネ科の多年生植物。高さ2－3mと大きく成長し、細長い葉が根元から密生して伸びる。8月から10月にかけ、長さ50-70cmの羽毛のような花穂をつける。ススキに似ていて背が高いため「お化けススキ」とも呼ばれる。
　パンパスグラスはブラジル、アルゼンチン原産で、明治中頃に渡来。英語名は、南米の大草原（パンパス）に生えている草（グラス）という意味。
　最初の二枚の画像は南米の大草原のジャイアントススキという感じだが、後の二枚は一見日本のススキだと感じる人が多いのではないか。人の知覚像などいい加減だと言えばそれまでなのだが、人の知覚は捨てたものではなく、画像についてのちょっとした情報から、いずれもパンパスグラスだときちんと見極めることができる。とはいえ、パンパスグラスの花穂に秋を感じるのはススキやヨシに秋を感じるのと同じなのだろうか。私の場合はススキやヨシに感じる季節をパンパスグラスにも感じてしまう。
　オギとススキがよく似ていて、ヨシとツルヨシもよく似ている。その上、四つとも似ているのだが、パンパスグラスの外観はどれに似ているだろうか。

観念とそれらの結合による思考の数学

［アリストテレス以後の展開］
　存在の基本的な規則が論理学だった古代・中世の時代から17世紀に入ると、「思考する」、「推論する」ことがどのようなシステムをもつかについての新しい試みが幾つも登場し始める。17世紀からの新しい関心は次のように表現できる。

1演繹的な推論に関する理論は心理学の理論であり、物理学が運動法則を研究するように、論理学は思考の法則を経験的に研究する。
2 思考の法則は、算術や運動の法則と同じように、代数的な形式をもっている。
（1は誤りで、2は正しいことが後に明らかになる。）

　思考の法則（laws of thought）は幾つかのすぐにわかる特徴をもっている。その一つは、思考とは単純な概念の組合せであるというものである。「人間＝理性的＋動物」というアリストテレスの定義に見られるように、組合せ（combination）は数学的な主題である。ルル（Ramon Llull, 1235-1316）は、推論は三段論法によってなされるのではなく、分解と結合の機械的な組み合わせによって行われると考えた。また、ホッブス（Thomas Hobbes, 1588-1679）は推論を心理的な過程と考え、それゆえ、推論の理論を心的操作の理論として捉えた。

（問）心理的な規則と論理的な規則の違いは何でしょうか。さらに、言語の規則と心理の規則は何が異なるのでしょうか。

［ライプニッツの論理に対する考え］
　ライプニッツ（Gottfried W. Leibniz, 1646-1716）は哲学、数学、論理学の分野で現在でも大きな影響を残している。彼が先鞭をつけたものの幾つかは数世紀後にやっと具体化され、その重要さが認識されるという具合で、正に先読みの天才だった。最も有名な仕事として微積分学が挙げられるが、それは氷山の一角に過ぎない。その広範な研究は、真理、必然的真理、偶然的真理、可能世界、充足理由の原理（理由なしに何ものも起こらない）、予定調和の原理（心的出来事とそれに対応する物理的出来事が同時に起こるように神はこの世界を造った）、無矛盾の原理（矛盾が引き出せるような命題は偽である）等々、実に多彩である。ライプニッツは、推論の原理が形式的な記号システム、つまり、思考の代数に還元できるという考えを生涯もち続け、それを研究した。
　さらに、彼の研究には次のようなものがある。推論が真か偽かを決定する計算の手続きを考え、「論理の決定手続き」という概念を生み出した。そして、彼は三段論法に関してそのような手続きを与えようとした。公理的な理論は、ある文について、それとその否定形のいずれもが公理から証明できない場合、「不完全である」と言われ、20世紀にはそれが詳しく研究された。この「不完全性」という概念はライプニッツが初めて明確にしたものである。また、言語の一部は数を含む抽象的な記号によって記号化でき、論理的関係は記号間の関係として表現できることも示した。これは人工言語の発想そのものである。また、命題間の論理的関係は代数的な構造をもつと考えた。これらのいずれも現在具体化されており、彼がいかに射程範囲の広い、先見的な発想をもって研究していたかがわかる。
［ブールの論理代数］
　次にブール（George Boole, 1815-1864）の論理学の研究を見てみよう。ブールは論理学が物理学や幾何学の法則と同じような法則からなり、それら法則は代数的な形式をもっており、私たちの心の正しい働きを表していると考えた。彼はそう考えただけではなく、法則の特徴づけを後にブール代数と呼ばれるシステムによって具体化した。それは次のようなものからなっている。

ブール代数の法則
x + y = y + x xy = yx x (y + z) = (xy) + (xz) x + (yz) = (x + y) (x + z) x + 0 = x x1 = x
x(1 - x) = 0 x + (1 - x) = 1 x + (y + z) = (x + y) + z x(yz) = (xy)z 0≠1

そして、この抽象的な法則は集合間の法則として次のように解釈できる。空でない領域U上での集合Fについて、

U∈F
A∈Fなら、U‐A∈F
A∈F かつB∈Fなら、A∪B∈FかつA∩B∈F

を満たす場合、任意のx, y∈Fについて、x + y＝x∪y、xy＝x∩y、1－x＝U－x、1＝U、0＝φとすれば、ブール代数の法則は集合の間の関係によって真になる。つまり、上の条件を満たす集合の集まりはブール代数になっている。このようなブール代数の中で1と0の二つの要素からブール代数を考えると、それは命題の真、偽に関する振舞いを表す代数となる。
　ブールは計算の自動化に最初から興味をもったわけではなく、命題の論理的な正しさを表現し、評価するための方法に関心をもっていた。複雑な命題の真偽をその複雑さがどのように生み出されるかの過程から示そうと代数的な計算を考えついた。それが次の結果である。要素的な命題から接続詞を使ってつくりだされる複合命題の真偽は要素的な命題の真理がわかれば、ブール代数の計算によって導き出すことができる。これは現在命題の真理表（truth table）として知られている。

秋（2）：ヤマボウシの実

　ヤマボウシの花は、花びらのように見える白い4枚の総苞（そうほう）が美しく、その素朴で凛々しい姿を好きな人がたくさんいます。そのためか、ハナミズキと並んでよく公園で目にします。ヤマボウシは日本原産で、ハナミズキは外来種。明治45年に東京市長がワシントンに桜の木を贈りますが、その返礼として送られてきたのがハナミズキ。ハナミズキの別名は「アメリカヤマボウシ」。
　ヤマボウシは、6、7月頃に花が開き、9月頃に果実を実らせます。ヤマボウシの実は、皮が赤色やオレンジ色で果肉は黄色をしています。熟すと地面に落下し、そのまま皮を剥いて生でも食べられます。果肉には小さな種がたくさん入っていて、味は甘く、マンゴーやバナナの味に似ています。でも、その外観は食欲をそそるようには見えず、食べられることを知っている人は少ないようです。ヤマボウシの実はビタミンやカロチン、アントシアニンなどを含み、乾燥させれば下痢や腹痛にも効きます。

量と質の表現

　量と質は異なるもので、量は数学的に表現でき、質は直接に感じとられるものというような区別が受け入れられてきたようである（では、「質量」とは何なのか）。量とは数によって表すことができるもので、身長や体重、国土や都市の広さ、山の高さ等様々な量がある。一方、質は感覚的な色や匂い、製品の品質等、一般には数的な表現ができない、あるいはそれが困難と思われているものである。
　では、量は自動的に数的に表現できるのだろうか。そんなことができたら、人類の歴史はすっかり変わっていただろう。「重いこと」と100kgとはまるで異なるものである。量をどのように数的に表現するかの工夫と努力が知識を生み出し、今日の文明が生み出されたといっても過言ではない。「数量化」などという単語に惑わされてはならない。数と量はまるで異なる概念である。量を扱う数学が幾何学、数を扱う数学が算術や代数、これらが異なる数学であるというのがギリシャ時代の常識だった。
　質が数で表せないというのも嘘である。水質も品質も測ることができ、等級さえ与えられている。大抵の性質は比較することができ、それゆえ良質なものと悪質なものの区別ができる。
　量を数で表現すること、そしてそれを自由に演算可能にすること、この二つが幾何学の代数化であり、それを可能にした一人がデカルトだった。量も質も数で表現するには同じように工夫が必要で、量＝数でも、質≠数でもなかったことに注意したい。

古代ギリシア以来、数と量という概念は峻別され、ユークリッドの『原論』では、次のように考えられていた。

1. 数とは、基数（事物の個数を表す数）のことである。
2. 量とは、長さ、広さなど（後に重さ，速さ等も入る）互いに比較可能なものである。
3. 同一種類の量だけが比較できる。

同じ種類の量しか比べられないということは一見その通りに思える。ギリシアには量の積がなかったし、「数とは量の比のことである」（オイラー）という見解からは、数の積は存在しないのである。だが、積がこのような理由から存在しないことになると、不都合極まりないことになる。
それゆえ、量の追放が純粋数学の成立に不可欠であった。つまり、数概念の確立に至る歴史とは、ギリシア以来数学における最も重要な概念の一つであった量という概念が抹殺さ、追放される歴史だったと言うことができる。だから、量という外的世界とつながる概念が追放されたことと純粋数学という概念が成立したこととはほぼ同じ意味と考えることができるのである。19 世紀に入って数学の「算術化」運動が起こった。これはすべての数学は算術に還元できるという思想に基づいているが、この運動の一環として量概念が駆逐、否定された。
そこで、数と量の統合に向けての歴史的な歩みを垣間見てみよう。

1.ディオファントス（『算術』：AD 3世紀頃）は分数（有理数）を数と認めた。これがアラビア世界、そして西洋に受け継がれ、「数」と言えば、分数を指すようになっていた。

2. 技術者シモン・ステヴィン（1548-1620）による小数の利用は数を線型的に捉え、それぞれの数を平等に見ることに大きく寄与した。ステヴィンの著書『算術』（1585）では次の様に述べられている。
・数はそれによって物の量が説明されるものである。
・数は連続的で、連続的な水が連続的な湿度に対応するように連続量は連続数に対応する。
・馬鹿げた数、無理な数、不規則な数というようなものはない。

3. ヴィエト（1540-1576）は代数の曖昧さが幾何学的な次元を統一しないことに由来すると主張し、次元の統一を要請した。すなわち、現在の記号で書けば，xの3乗 は立方体を表し、xの2乗 は正方形を表すのだから、xの3乗 +3x = 2といった式はナンセンスであるという指摘である。ヴィエトは自分の創始したパラメーターを表す文字を使うことによって、たとえば、xの3乗 + 3（aの2乗）x = 2（bの3乗）というように次元を統一することを提案した。これはデカルトの「すべての量は線分として把握できる」という主張の先駆けとみることができる。

4. デカルト（1596-1650）は幾何学的な量の概念の1 次元化を行った。つまり、aの3乗 は（aの2乗） • a と定義され、線分で表すことができるという主張である。しかし、負の量を扱っていないし、また座標系という概念を生み出したと評価するのも正しくない。

5. オイラー（1707-1783）は「数とは，一つの選ばれた単位の量に対する比以外の何物でもない」（『代数学入門』1768）と述べた。オイラーのこの言葉は数を論じるときの決まり文句となって流通し、負まで込めた直交座標系はオイラーによって初めて使われた。数直線もオイラーが最初に導入したものであろう（『無限解析入門』1748）。

6. 有理数体から実数体を構成する（あるいは，説明する）方法は、周知のようにメレーおよびカントール、ワイヤシュトラス、デデキントによってそれぞれ提案された。メレーおよびカントールの方法は有理基本列によって、またデデキントは切断という手法によって、実数を定義する．ワイヤシュトラスは有理数団という方法を使う。

7. 論理哲学者フレーゲも『算術の基本法則』第II 巻（1903）において独自の実数論を展開している。これは完全に伝統的な見方に従って、実数を量の比と捉え、基数と実数を截然と区別する考え方を貫いたものである。この場合、自然数も基数とは別物として実数に含めて考える。基数を対等な集合の類として定義する、現代の集合論でも時に見られる方式は西洋的な伝統という枠内で捉えることができるだろう。だが、実数を量の比と見る見方は現在では姿を消している。

秋（1）：キカラスウリ

　東京の湾岸部は埋立地である。そんなところの自然など貧弱に決まっている、というのが通り相場の意見だが、そんな常識が通用しないのが自然の不思議なところ。埋立地の湾岸地域を侮ることなかれで、意外に豊かな自然が既に造成されている。カラスウリについてかつて述べたが、今日の主役はキカラスウリ（黄烏瓜）。あちこちの空き地に元気に花を咲かせ、実をつけ始めている。
　キカラスウリはウリ科の植物で、つる性の多年草。赤い果実のカラスウリに対し、黄色の果実がキカラスウリ。花は6月から9月にかけての日没後から開花し、翌日午前中から午後まで開花し続ける。花は白色、あるいはやや黄味がかった白色で直径5〜10cm程度。花冠は3〜6枚に裂ける。キカラスウリ花の先は糸状になり、長さは多様だが、カラスウリよりも総じて太く長い。
　結実した果実は緑色で、結実後2ヶ月程度で黄色に変わり、9月から11月頃には黄熟する。熟した果実の種子周囲の果肉部分には甘みがあり、食べることができる。カラスウリが赤く熟すのに対して黄色く熟すのがキカラスウリの名の由来。
　実はその形状から瓜であるのは間違いないが、なぜカラスなのかは昔からの私の疑問。カラスウリの名前は鳥のカラスとは関係がなく、由来に関わる正しい漢字は「唐朱瓜」。「唐朱」とは唐から伝来した朱墨のこと。カラスウリのあの鮮やかな実の色がその色に似ていることから唐朱瓜と呼ばれたらしい。となれば、キカラスウリは「唐黄瓜」となる筈だが、「黄唐朱瓜」が転じて（？）、「黄烏瓜」。

アリストテレスの推論についての理論：三段論法（Syllogism）

　アリストテレスは桁外れの天才、それも万能の天才である。そんな天才でも先生のプラトンや生徒のアレキサンダー大王とは色々と確執があったようである。天才の業績の一つが論理学であり、何とそれは20世紀初頭まで世界中の大学で「形式論理学（formal logic）」として実に長い間教えられ続けてきたのである。
　彼の論理学は自然言語（彼にはギリシャ語）の文法に基づいており、それゆえ、基本の言明の形は「AはBである」という、AとBの二つの名辞（項）が「である」で結ばれた形である。文法上の主語は一つであり、一項述語によって表現できるのが基本文型となる。これは確かに文法では正しいのだが、論理的な基本文型ではない。それが明瞭に把握されるには19世紀末のフレーゲまで待たねばならなかった。言語と論理はアリストテレスでは違った構造をもっていなかったのであるが、今の私たちには言語と論理ははっきり違う規則をもつものなのである。結局、アリストテレスの論理学は誤っていなかったのだが、適用できる範囲がとても狭く、数学などでの推論には役立たなかった。そのため、どの大学の基本カリキュラムにも入っていた「論理学」は役に立たないものと見做されていたのである。
　私の経験を述べても大した意味はないが、大学に入学してすぐに履修したのが「形式論理学」。恐ろしく退屈で、途中で授業に出なくなったのだが、それがアリストテレスに始まる論理学だった。二年生になり、「記号論理学」なる科目があり、これは今の論理学で、内容は論理計算だった。まるで異なる二つの論理学を経験したのが私の青春だった。私はアリストテレスの権威とその改訂版を逐次的に学んだことになる。
　ここではアリストテレスの論理学の中で彼が開発した三段論法についてだけ述べることにしよう。アリストテレスは推論が言明（命題、より具体的には文）によって表され、二つの名辞（項、term）M、Pが「MはPである」ように結ばれた言明を推論の構成単位であると考えた。そのため「名辞の論理学」とも呼ばれてきた。そして、推論を構成する基本になる言明を次の4つに分類した。

すべてのMはPである 全称肯定型 A
すべてのMはPでない 全称否定型 E
あるMはPである 特称肯定型 I
あるMはPでない 特称否定型 O

（問）「すべての人間が善人とは限らない」は上の4つの基本型のいずれでしょうか。

アリストテレスは推論の構成単位になる言明を定めた上で、推論は二つの前提から一つの結論を導き出す形が基本であり、それらを組合せることで複雑な推論をつくりだすことができると考えた。二つの前提から一つの結論を導く基本的な推論が三段論法と呼ばれるものである。正しい推論は、したがって、正しい基本的な三段論法がわかれば、それらを組合せることによって、その正しさを証明することができる。これは、推論の内容からではなく、三段論法の正しい組み合わせという形式から、推論が正しいか否かが説明できることを意味している。
　では、正しい三段論法はどのように与えられるのか。その説明は大変長くなるので省略し、アリストテレスらによって確立された結果だけ格式表を使って見てみよう。下の二つの表を組合せると正しい三段論法がつくり出せるようになっている。

三段論法の格式表（1）
            第一格     第二格     第三格     第四格
大前提    MP          PM           MP          PM
小前提    SM          SM           MS          MS
結論        SP           SP           SP           SP
（2）
第一格     第二格     第三格     第四格
  AAA        AEE         AI I         AEE
  AI I          AOO        IAI           IAI
  EAE        EAE         OAO       EIO
  EIO         EIO          EIO

　（1）は大前提、小前提と呼ばれる二つの前提に登場する言明の中での二つの名辞の並び方である。結論も同様である。（2）はそれぞれの格での前提二つと結論の言明の基本型である。例えば、（1）の第二格は「PはMである」、「SはMである」を前提にし、「SはPである」を結論とするような三段論法ということになる。これでは言明の型がまだわからない。そこで（2）より言明の型を見つける。同じように第二格を見ると最初の段はAEEと書かれている。最初のAEは前提二つの型を示し。最後のEは結論の型を示している。第二格の残りのAOO、EAE、EIOについても同じである。そしてこの4つの並び方はいずれも正しい三段論法の種類を表している。
　第三格のAIIを考えてみよう。第三格であるから、まず（1）で名辞の並び方を確認し、次に（2）の第三格の型を確認する。すると、

すべてのMはPである
あるMはSである
それゆえ、あるSはPである

という三段論法の図式が得られる。M、P、Sにそれぞれ名辞「人間」、「動物」、「日本人」を代入してみると、

すべての人間は動物である
ある人間は日本人である
それゆえ、ある日本人は動物である

という三段論法の推論が得られる。この推論の内容はつまらないが、内容とは関係なく、この推論は文句なく正しい。このように格式表を使って正しい三段論法を半ば自動的につくりだすことができる。

（問）格式表を用いて、次の推論が正しいかどうか調べてみよう。

すべての人間は動物である。動物はみな生物である。
それゆえ、すべての人間は生物である。

女性のなかには内気な人がいる。内気な人は積極的でない。
それゆえ、女性はみな積極的でない。

　格式表を使えば正しい三段論法がすべて網羅できるという驚異的な結果はアリストテレスの論理学の大きな成果だった。では、どんな推論も三段論法で扱えるのだろうか。そこで、次のような推論はアリストテレス的な方法で扱うことができるだろうか考えてみよう。

（1）
3は4より小さい。
4は5より小さい。
それゆえ、3は5より小さい。
（2）
人間はみな動物である。
それゆえ、人間の細胞は動物の細胞である。
（3）
人間は理性的であると信じられている。
それゆえ、人間は理性的である。

格式表を使って三段論法をつくろうとすると困るはずである。というのも、（2）や（3）は前提の数が足りないし、（1）の各言明、（2）の結論、（3）の前提は4つの基本型を使って表現できない。表現できない理由は問題を解く人の能力にあるのではなく、これらは基本型ではそもそも表現できないからである。（「人間の細胞は動物の細胞である」は確かに全称肯定型で表現できるが、前提の「人間」や「動物」を名辞にした文型と関連がつかなくなってしまう。したがって、前提と結論が関連するような表現は得られない。）このような簡単な推論についてさえ三段論法でうまく扱うことができないとすれば、三段論法は役に立たないということになるだろう。むろん、私たちは自分がした推論が正しいかどうかを推論の内容から直観的に判断しているので、三段論法が使えないから不便であるとは感じていない。不便と感じないこともあって、19世紀までは推論する人の直観、経験等によって推論の正しさをその都度確認することで大抵は済ませてきた。その間に、三段論法は実際の証明や推論に使うことのできない不毛の装置と見なされるようになっていった。
　では、4つの基本型で上の言明が表現できない理由は何なのか。「3は4より小さい」、「人間の細胞は動物の細胞である」、「人間は理性的であると信じられている」という言明を基本型と比べたとき、どのような違いがあるのだろうか。最後の言明「人間は理性的であると信じられている」は、事実について述べた「人間は理性的である」と違って、その言明に対する私たちの心的態度を表現している。この違いを無視すると誤りに陥ることを私たちは経験的に知っている。

　アリストテレスの三段論法は自動的に推論の正しさを判定できる形式的なシステムであり、それを生み出したアリストテレスの天才に驚嘆するしかないのだが、そのシステムは意外にも見掛け倒しで、推論のほんの一部しかカバーしていないことが19世紀末にわかるのである。そのことによって、それまでは誰も直観的に正しく推理してきたことがシステム化され、20世紀以降の記号論理学の普及と応用につながるのである。